На первый взгляд определить величину угла безо всяких измерений не представляется возможным. Тем не менее данная задача вполне разрешима. Пусть дан угол АОВ (см. рисунок). Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки С и D, в которых она пересекается со сторонами угла, соединим отрезком. Получится хорда CD. Далее надо от точки С откладывать хорду CD при помощи циркуля до тех пор, пока его ножка не совпадет с исходной точкой С. При этом надо посчитать, сколько раз была отложена хорда и сколько раз была обойдена окружность. Когда мы откладываем хорду, мы как бы увеличиваем неизвестную нам величину угла АОВ в х раз (количество отложенных хорд). Количество обходов окружности примем за у. Увеличив угол АОВ в х раз, мы обошли окружность (360°)·у раз. Таким образом, получается, что угол АОВ · х = 360° · у. Следовательно, угол АОВ = (360° · у) : х, т.е. чтобы найти величину угла, надо количество обходов окружности умножить на 360 и разделить получившийся результат на количество отложенных хорд.

Как видим, задача решается действительно безо всяких измерений. Также она не требует никаких познаний в геометрии, кроме того, что окружность состоит из 360°. Данная задача не столько геометрическая, сколько логическая. Кстати, при отсутствии циркуля можно начертить окружность с помощью булавки и нитки и отложить хорду, используя те же приспособления.